Дельта-функція

Відео: Дельта функція, Леннаучфильм, 1985

?-функція - це узагальнена функція, формально визначається як безперервний лінійний функціонал в просторі диференційовних функцій. ? -функція не є функцією в класичному розумінні.
Введена англійським фізиком Дираком. Дозволяє записати просторову щільність фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сила і т. П.), Зосередженої або доданої в одній точці. Наприклад, щільність точкової маси m, що знаходиться в точці a евклідового простору , Записується за допомогою? -функції у вигляді .
?-функція визначається формальним співвідношенням



для будь-якої неперервної функції .
Для дельта-функції однієї змінної вірні такі рівності:
У багатьох випадках зручним виявляється таке уявлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл

, (1)

який можна інтерпретувати як межу

. (2)

Відомо що

. (3)

В силу (3) для будь-якого справедливо рівність:

. (4)

Можна показати, що при необмеженій зростанні виявляються вірними все властивості дельта-функції і функції (2) направляється в - Це дозволяє зробити висновок, що:

.

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції? (X):

.

Підставивши , Отримаємо вираз:

.

Після перетворення маємо:

.

оскільки , Отримуємо остаточне вираз

.



У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

.

Для похідною дельта-функції вірні такі тотожності:

-


-


.

До початку координат x (t) =? (T) можна застосувати перетворення Фур`є:



в результаті виходить, що спектр? -функції є константою: F (?) = 1.
Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція показано вище функції:

.

Отже, застосувавши перетворення Фур`є до дельта-функції

,

отримаємо її образ у вигляді:

.

У двовимірному просторі:

-


.

У полярних координатах:

.



У тривимірному просторі:

-


.

В циліндричній системі:

.

У сферичній системі координат:

.

Графік функції Хевісайда, похідна від якої - дельта-функція Дельта-функція

миттєве прискорення
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на ударі налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і швидкість. Як розрахувати прискорення, набуте тілом? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік матиме вигляд, показаний на верхньому малюнку праворуч. На нижньому малюнку наведено графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

a (t) = ?? (t - t a).

функція Гріна
Інші приклади Дельта-функція застосовується в математичній фізиці при вирішенні завдань, в які входять зосереджені величини. У квазікласичному хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичним траєкторіях по рівняннях Ньютона. Через дельта-функцію, також записи функція Гріна лінійного оператора L, діючого на узагальнені функції над різноманіттям M в точці x 0. Рівняння має вигляд .
де - Оператор Лапласа.
Важливо відзначити наступну формулу

,

де

- Функція Гріна.

Цей вислів випливає з того, що поводиться подібно дельта-функції .. Цей факт використовується для доказу того, що вираз для скалярного потенціалу:



задовольняє рівняння Пуассона:

.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!