Фермі-газ

Відео: Fermi-Dirac and Bose-Einstein statistics - basic introduction

Фермі газ (або ідеальний газ Фермі-Дірака) - газ, що складається з частинок, які задовольняють статистиці Фермі-Дірака, мають малу масу і високу концентрацію. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати потенціал, діючий на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно заряженіми іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.
Низька енергія класичного газу (або газу Бозе - Ейнштейна) при T = 0 дорівнює W 0 = 0. Тобто при нульовій температурі всі частинки падають в низький стан і втрачають всю свою кінетичну енергію. Однак для газу Фермі це неможливо. Принцип заборони Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом фермі-частинок з напівцілим спіном. Низьку енергію газу W 0 з N частинок можна отримати, шляхом розміщення одного вийнятого в кожен з N квантових станів з низькою енергією. Тому енергія W 0 такого газу при T = 0 буде відмінною від нуля.
величину W 0 не важко вирахувати. Позначивши через? 0 енергію електрона в вищому квантовому стані, яке ще заповнене при T = 0. При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче? 0 зайняті, а всі квантові стани з енергією вище? 0 - вільні. Тому має існувати точно N станів з енергією нижче або рівній? 0. Цього умови досить для знаходження? 0. Оскільки обсяг є мікроскопічним, тому трансляційні стану лежать близько один до одного в імпульсному просторі і ми можемо замінюють підсумовування по трансляційним квантовим станам інтеграцією за класичним фазовому просторі, розділивши попередньо на h 3:



де число внутрішніх квантових станів, відповідних внутрішньої енергії. число , Для електронів зі спіном 1 / 2. Інтегруючи останній вираз від p = 0 до значення p 0, визначеного як величина імпульсу високого заповненого при T = 0 стану з енергією І прирівнюючи результат до N, отримуємо з урахуванням того, що? = N / V:





або для електронів з :





Величину? 0, вищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.
Для ненульових значень параметра? = 1 / k T щільність числа електронів N (?) В енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової щільності станів



на множник , Який дає число електронів на один квантовий стан:



де величина? 0 є хімічний потенціал при T = 0, а? -хімічний потенціал при даній температурі.
Якщо проінтегрувати цю функцію за всіма значеннями?, То ми можемо визначити? як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить в повного числа частинок N. Звідси видно, що для N (?) Величина m u є функція параметрів m u 0 і?.
Енергію можна знайти із співвідношення:

,



звідки видно, що тут ми зустрічаємося з завданням знаходження інтеграла типу:



в якому функція f (?) Є деяка проста і безперервна функція від?, Наприклад? 1/2 або? 3/2, і

.

Слід зазначити, що величина? 0 / k має порядок від до 10 5 Я на для більшості металів.
пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті матимемо наближене значення хімічного потенціалу:

,

яке виражає хімічний потенціал? через параметри? і? 0 - хімічний потенціал при T = 0. Тут слід зазначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає , Що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично співрадае з потенціалом Фермі.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!