Гравітаційні хвилі

Відео: Відкриття гравітаційних хвиль

Одним з висновків рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля:



є існування гравітаційних хвиль. Ці хвилі мають зазвичай дуже малу амплітуду, винятком може бути хіба що екзотичний випадок обертання двох дуже близьких чорних дір. Ця амплітуда настільки мала, що ще до сих пір гравітаційні хвилі не виявлені експериментально.
Для виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди, ми можемо скористатися лінеаризовані рівняння Ейнштейна зі статті Слабке гравітаційне поле, але не відкідатімемо ніяких лінійних доданків. Для варіації тензора Річчі маємо формулу (для зручності ця формула помножена на два):



де симетричний тензор h i j пов`язаний з варіацією? g i j метричного тензора і має до того ж нульову дивергенцію:



з формули (2) легко можна отримати і варіацію тензора Ейнштейна G i j:



Формулу (4) потрібно прирівняти до варіації? T i j тензора енергії-імпульсу з відповідним (формула 1) коефіцієнтом пропорційності:



Права частина цього рівняння є проблемою в разі присутності матерії, тобто ненульового тензора T i j. Дійсно, розглянемо дві ситуації, для невозмущенной метрики g i j без гравітаційних хвиль і для обуреної метрики в присутності гравітаційної хвилі. В обох випадках дивергенція Тезора енергії-імпульсу повинна дорівнювати нулю:



Відзначимо, що в формулах (6) різні не тільки тензори , Але і оператори Набла - Оскільки в них входять залежні від метрики символи Крістоффеля. Отже маємо:



Якщо тензор енергії-імпульсу не дорівнює нулю і варіація символів Крістофеля не дорівнює нулю , То в загальному випадку два останніх доданків формули (7) теж будуть ненульовими і не компенсуються взаємно. Це означає, що і варіація . Але кількість рівнянь (7) дорівнює чотирьом (i = {0,1,2,3} а тому з цих рівнянь не слід однозначно, якими мають бути всі десять компонент варіації тензора енергії-імпульсу .
Це принципова проблема яка ще чекає свого дослідника, для її вирішення треба залучати якісь сторонні (крім рівняння Ейнштейна) фізичні міркування.
У порожнечі T i j = 0, а тому два останніх доданків у правій частині формули (7) дорівнюють нулю. Ми можемо вважати, не входячи в суперечність з формулою (7), що при проходженні гравітаційної хвилі варіація тензора енергії-імпульсу теж дорівнює нулю:



Далі, з рівняння Ейнштейна (1) випливає, що в порожнечі скалярная кривизна R і тензор Річчі R i j дорівнюють нулю:



= 0 "src =" https://upload.wikimedia.org/math/c/d/2/cd2...a23d0db1067.jpg "

Підставляючи (8) і (9) в формулу (5) отримуємо рівняння гравітаційних хвиль в порожнечі:



Рівняння (10) все ще складна, і оскільки в земних умовах гравітаційне викривлення простору невелике, то не буде великою похибки якщо ми обмежимося плоским простором Маньківського з метрикою:



Для цієї метрики тензор внутрішньої кривизни R i j k l дорівнює нулю, коваріантні похідні збігаються з приватними похідними , А лапласіан стає оператором Даламбера:



Отже система рівняння (10) записується так:



і розпадається на десять незалежних рівняння, по одному на кожну незалежну компоненту симетричного тензора h i j. Ці рівняння можна вирішувати незалежно, а потім на загальне рішення накласти умова бездівергентності:



Загальне рішення
Розглянемо гравітаційну хвилю, рухається уздовж однієї просторової координати x 1, тобто величини h i j залежать тільки від часу x 0 = c t і цієї координати x 1, і не залежать від двох інших просторових координат :



і як відомо, має наступний спільне рішення:



перший доданок F (x 0 + x 1) описує хвилю довільної форми, що рухається по осі x 1 з плюс нескінченності в мінус нескінченність, причому зі швидкістю світла, оскільки x 0 = c t. Другий доданок описує аналогічну хвилю, яка рухається в зустрічному напрямку.
Оскільки пряма і зустрічна хвилі повністю аналогічні і не взаємодіють між собою, то в подальшому аналізі можна обмежитися тільки однією з них, і вважати все величини h i j функціями однієї змінної:



Похідні? позначати штрихом, тоді:






Накладення умов бездівергентності
Рівняння (14) для нашої хвилі з урахуванням (19) і (20) запишеться так:



і легко інтегрується:



де c i - константи інтегрування.
Тепер оглянемося, що ми отримали. Гравітаційна хвиля описується десятьма функціями h i j (?), Чотири з яких за формулами (15) виражаються через інші. Отже маємо шість функцій і чотири константи. Покажемо, що чотири з цих шести функцій, а також всі константи можна обнулити, якщо правильно замінити систему координат.
Залишок свободи у виборі системи координат
Як відомо (див. Статтю Метричний тензор), при зміщенні системи координат x i на малий вектор v i:



і згідно з формулою (3), тензор h i j змінюється так:



Беручи дивергенцію від (25), знаходимо:



У плоскому просторі Маньківського коваріантні похідні можна переставляти, тому другий і четвертий доданки в правій частині формули (26) взаємно-знищуються і ми маємо таке рівняння:



Цим рівнянням ми вже користувалися в статті Слабке гравітаційне поле, щоб зробити нульовий дивергенцію від h i j. Однак і після обнулення дивергенції залишається свобода змінювати h i j за формулою (25), якщо вектор v i задовольняє рівняння Лапласа (щоб не міняти 27):



Тепер подумаємо, яким може бути вектор v i в нашому випадку плоскої хвилі. По-перше він може бути функцією однієї змінної v i = v i (?), Так щоб нові величини за формулою (25) теж були функціями цієї однієї змінної.
По-друге, вектор v i може бути лінійною комбінацією всіх координат:



Ясно що ця лінійна функція задовольняє рівнянню Лапласа (28), а в формулу (25) вносить тільки повстійні складові, так що Далі, у формулі (29) ми можемо обмежитися тільки симетричною матрицею коефіцієнтів a i j, оскільки для антисиметричною матриці маємо нульову зміну у формулі (25):

x ^ k) + g_ {ij} g ^ {ps} partial_p (a_ {sk} x ^ k) = - (a_ {ji} + a_ {ij}) + g_ {ij} g ^ {ps} a_ {ps } = 0 "src =" https://upload.wikimedia.org/math/5/f/5/5f5...3375d0e5c4d.jpg "

Підсумовуючи, ми можемо для трансформації системи координат взяти наступний вектор:



де матриця a i k симетрична.
Обнулення неістотних компонент гравітаційної хвилі
Спочатку для використання в наступних формулах знайдемо дивергенцію формули (31):



Підставами в формулу (25) вектор (31), і розпишемо одержане рівняння покомпонентно, враховуючи також формули (22). Маємо наступні десять рівнянь:


















У правих частинах всіх цих рівнянь дужками виділені функціональну складову (від? = x 0 + x 1), а далі йдуть повтійні складові. Як видно, серед функціональних складових трапляються однакові, наприклад в формулах (33.1 - 33.3). Тому ми можемо вибором функцій u i = u i (?) Обнулити ці складові в семи перших рівняннях (33.1 - 33.7), а також в наступному рівнянні, що є напівсуми (33.8) і (33.9):





Отже маємо систему чотирьох рівнянь:






яка лекго вирішується:






Постійні складові цих же восьми рівнянь (33.1 - 33.7), (34) також можуть бути скинуті належним вибором десяти коефіцієнтів a i j. Маємо наступні вісім рівнянь, накладені на коефіцієнти:










з яких випливає:




Дві поляризації гравітаційної хвилі
Так що нам вдалося підбором системи координат (вектор v i) обнулити всі компоненти h i j крім наступних трьох: h 22, h 33, h 23. Причому h 22 + h 33 = 0. Є тензор h i j в плоскій гравітаційної хвилі має такий вигляд:



компонента h 23 не може бути обнулена, оскільки у формулі (33.10) можна підбирати тільки константу a 23 яка не здатна знищити функціональну залежність. Те ж стосується компоненти h 22 = - h 33, яку можна знайти як піврізніцю формул (33.8) і (33.9):



Слід тензора (39) дорівнює нулю:



а тому варіація? g i j метричного тензора збігається з тензором h i j:



а сам метричний тензор дорівнює:



якщо компонента h 22 = A sin? коливається, то згідно з формулою (43) простір по черзі, в одній фазі коливань, стискається по осі y і розтягується по осі z, а потім, в іншій фазі коливань, розтягується по осі y і стискається по осі z. Це одна поляризація гравітаційної хвилі.
компонента h 23 описує аналогічні коливання, але уздовж діагональних осей, повернуті на 45 ° - це друга поляризація гравітаційної хвилі.
Викривлення простору в гравітаційному хвилі
Обчислимо тензор внутрішньої кривизни (тензор Рімана) через варіацію метрики (43). Маємо формули:




тоді



У плоскому просторі комутатор дорівнює нулю, а варіація тензора кривизни дорівнює самому тензора. Тому наближено коваріантний тензор Рімана дорівнює:



Які компоненти цього тензора можуть бути відмінні від нуля? По-перше хоча б два індексу повинні бути числами {0, 1} щоб не було обнулення всіх других похідних. Нехай це будуть індекси (P, j) - тоді третій доданок в дужках формули (47) може бути відмінним від нуля. Але незважаючи на матрицю (43), варіація? g i k в цьому третьому доданку повинна бути однією з наступних компонент:? g 22,? g 33,? g 23. Отже індекси (I, k) повинні рівнятися 2 або 3. Випишемо ці ненульові компоненти тензора Рімана:





Решта одинадцять компонент тензора Рімана дорівнюють нулю.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!